Математическое образование и интеллект

Математическое образование и интеллект

Научный руководитель – Индина Наталья Викторовна, преподаватель математики

Статью подготовил – Литовченко Матвей Сергеевич

ГПОАУ АМФЦПК, г. Белогорск, Россия

Аннотация

В статье рассмотрены основные теоретические сведения об алгебре высказываний, примеры решения логических задач методом рассуждением, с помощью логических таблиц истинности.

Введение 

Согласно мнению ученых вера в астрологию является следствием низкого интеллекта у людей. По данному направлению было проведено исследование, в ходе которого было установлено, что люди, увлекающиеся: таро, зодиакальными прогнозами и гаданием хуже справлялись с логическими задачами, математическими головоломками. Я решил изучить данный вопрос и проследить влияния математического образования на интеллект. В школьном курсе математики и в дальнейшем, при получении среднего профессионального образования осуществляется изучение элементов логики. Логика и математика неразрывно связаны друг с другом. Разнообразие логических задач велико. Решать логические задачи сложно, но очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики — нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только истина и ложь. А умение сопоставлять, анализировать и делать необходимые выводы, в этом и заключается приложение математики к решению логических задач. Рассмотрим методы решения содержательных задач с помощью аппарата алгебры логики.

Объектом исследования является наука Математика

Предмет исследования – элементы математической логики

Цель работы: изучение сути алгебры логики, основных способов решения логических задач с помощью аппарата алгебры логики.

Реализации поставленной цели способствуют следующие задачи:

1. Проанализировать литературу о сущности и возникновении математической логики.
2. Изучить элементы математической логики.
3. Подобрать и решить задачи с элементами математической логики.

Гипотеза: с помощью алгебры логики можно не только вычислять, упрощать, преобразовывать логические высказывания, но и стимулировать развитие логического мышления.

Методы: анализ литературы, понятий, систематизация данных.

Логика – это наука о законах и формах мышления. Она возникла в глубокой древности. Ее основы заложены древнегреческими философами. В настоящее время математическая логика изучает методы рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание. Простейшую из формальных логических теорий называют логикой высказываний. К основным понятиям математической логики относится высказывание. В логике над высказываниями производятся следующие основные операции (логические связки): отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность. Они рассматриваются как средство вычисления логического значения сложного высказывания по логическим значениям составляющих его простых высказываний. Операции над высказываниями обладают рядом свойств. Поскольку эти свойства справедливы для любых высказываний, то их называют тождествами или законами. Приведем основные законы без доказательств: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы де Моргана, законы поглощения, закон идемпотентности, закон противоречия, закон исключенного третьего, закон двойного отрицания и закон контрапозиции. С помощью законов логики можно проводить преобразования формул алгебры высказываний, аналогичные преобразованиям алгебраических, тригонометрических и других выражений. [1]

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний (логических формул) и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. [2]

Рассмотрим приложения алгебры логики к решению логических задач. 

Решение логических задач табличным способом рассмотрим на примере. В симфонический оркестр приняли трех музыкантов – Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: Смит – самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? [3]

Решение. Составим таблицу истинности и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Так как, музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на двух инструментах, которыми остальные не владеют. Из условия 4 задачи следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, из условий 3 и 5 Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «альт» и «кларнет» заполним нулями: 

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон. 

Из условий следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки «Вессон» можно заполнить нулями: Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит. 

Несложные логические задачи обычно решаются с помощью рассуждений. 

Пример. Владимир, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и немецкий. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил «Владимир изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает немецкий. Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложно. Какой язык изучает каждый из молодых людей.

Решение. В задаче имеется три утверждения:

А = «Владимир изучает китайский»;

В = «Сергей не изучает китайский»;

С = «Михаил не изучает немецкий».

Если предположить, что верно утверждение А, то будет верно утверждение В, так как юноши изучают разные языки. Но это противоречит условию задачи, поэтому утверждение А ложно.

Если же будет верно утверждение В, то утверждения А и С должны быть ложны. Тогда получается, что никто не изучат китайский. А это противоречит условию задачи, поэтому утверждение В также ложно.

Рассуждая таким образом, мы получили, что из трех утверждений верно утверждение С, а утверждение А и В ложные. Следовательно, Сергей изучает китайский, Михаил – японский, а Владимир – немецкий язики.

Следующая задача достаточна жизненна, ведь в наше время очень важно разбираться в политических перетепиях.

Пример. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы: Россия – «Проект не наш, проект не США»; США – «Проект не России, проект Китая»; Китай – «Проект не наш, проект России». [4]

Один из них (откровенный) оба раза говорил правду, другой (скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду. Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. 

Решение. Для удобства пронумеруем высказывания министров: Россия «Проект не наш» (1), «Проект не США» (2); США «Проект не России» (3) «Проект Китая» (4); Китай «Проект не наш» (5) «Проект России» (6). 

Узнаем, кто из министров самый откровенный. Предположим, что российский министр оба раза сказал правду, т.е. утверждения (1) и (2) являются истинными. Тогда проект должен быть китайским, но в этом случае оба утверждения министра США истинны. Однако по условию этого быть не может. Предположим, что министр США оба раза сказал правду, т.е. утверждения (3) и (4) являются истинными. Тогда проект должен быть китайским. В этом случае российский министр оба раза говорит правду, но по условию откровенный министр только один. Значит ни российский министр, ни министр США не являются откровенными. Следовательно, откровенный – это министр из Китая. Он оба раза говорит правду, т.е. утверждения (5) и (6) являются истинными. Значит, был принят проект России. Министр США в этом случае является скрытным, поскольку оба раза говорит неправду. 

Российский министр является осторожным, поскольку утверждение (1) является ложным, а утверждение (2) истинным.

На основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы:

• использование элементов математической логики позволяет учащимся гораздо быстрее найти нужные решения задач;
• класс логических задач является самым разнообразным, как по типам, так и по методам решения;
• изучая аппарат логики начинаешь мыслить нестандартно, анализируя исходные данные;
• освоение основных элементов математической логики пригодится в будущей профессиональной деятельности, как в сфере программирования, экономики, так и в других сферах жизни общества.

В представленной работе рассмотрены некоторые теоретические вопросы алгебры логики. Логика возникла в результате необходимости в строгом формальном языке. Особое свойство логических выражений – возможность их нахождения по значениям. Булева алгебра, и особенно та ее часть, которую называют прикладной алгеброй логики, в настоящее время получила широкое развитие в прикладной математике, в программировании, науке и технике. Распространение не случайно, ведь часто в реальной жизни приходится решать нестандартные задачи. Своим знакомым и одногруппникам настоятельно рекомендую хоть изредка погружаться в мир логики. Это не только позволит увлекательно провести время, но позволит немного «прокачать» свои мозги.

В работе рассмотрены примеры решения логических задач метом рассуждений, аналитическим способом, с помощью логических таблиц истинности. Основная цель работы достигнута, выдвинутая гипотеза подтверждена.