Методическая разработка открытого урока по УД ЕН 01 «Математика» на тему: «Комплексные числа. Операции над комплексными числами».

автор: Варитлова Залина Мулидовна
преподаватель
ГБПОУ «КБАДК»

Методическая разработка открытого урока по УД ЕН 01 «Математика» на тему: «Комплексные числа. Операции над комплексными числами».

Кабардино-Балкарская Республика

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Кабардино-Балкарский автомобильно-дорожный колледж» 

Методическая разработка

по УД ЕН 01 «Математика»

план-конспект открытого урока 

на тему: «Комплексные числа. Операции над комплексными числами».

Нальчик, 2024 г

Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа, рассмотреть основные действия над комплексными числами, выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Задачи урока:

Образовательные: ввести понятие комплексного числа, познакомить с действиями над комплексными числами, выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Развивающие: развивать мышление в процессе выполнения практических заданий, способствовать развитию мыслительной деятельности учащихся, развивать навыки самостоятельной работы.

Воспитательные: воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания материала урока, активизировать познавательную деятельность учащихся.

Тип урока: урок усвоения нового материала

Вид урока: лекция с элементами беседы

Оборудование: доска, раздаточный материал (листы с материалом урока, с заданиями для закрепления материала);

План урока.

1. Организационный момент (приветствие, сообщение целей и задач урока);
2. Фронтальный опрос по предыдущей теме (отвечают на вопросы);
3. Изложение нового материала (объяснение с элементами беседы);
4. Закрепление материала (решение примеров у доски и самостоятельно, выполнение тестового задания);
5. Подведение итогов урока (выводы по теме, выставление и оглашение оценок с комментариями);
6. Домашнее задание (решить примеры, выписанные на доске).

Ход урока

1. Организационный момент (приветствие, сообщение целей и задач урока).

Сегодня мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим основные действия над комплексными числами, узнаем какие арифметические операции можно выполнять над комплексными числами.

1. Фронтальный опрос по предыдущей теме (отвечают на вопросы).

Вопросы:

1. Что называют графом? (граф – это геометрическая фигура, состоящая из точек и линий); 
2. Как обозначаются вершины графа? (вершины графа обозначаются точками);
3. Как обозначаются ребра графа? (ребра графа обозначаются линиями);
4. Какие виды графов вы знаете? (ориентированные, не ориентированные);
5. Какой граф называют ориентированным? (граф, рёбрам которого присвоено направление);
6.  Какой граф называют не ориентированным? (граф, ни одному ребру которого не присвоено направление);
7. Нарисовать граф с 5-ю вершинами и 10-ю ребрами (рисуют на доске).

III. Изучение нового материала (объяснение с элементами беседы, основные понятия и формулы записывают в тетрадь).

   Математическое обоснование комплексных чисел проводится на основе исследования квадратного корня из отрицательного числа. До изобретения комплексных чисел считалось, что квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

   Таким образом, комплексные числа были введены для удобства решения алгебраических уравнений, которые оказались не разрешимыми в области вещественных чисел.                Комплексные числа играют важную роль во многих областях науки и техники.

    Например, в физике комплексные числа необходимы для описания и решения многих физических задач. Они используются при описании колебательных процессов, переменных электрических и магнитных полей.

   Комплексные числа применяются в различных областях компьютерных наук, включая компьютерную графику, криптографию, сжатие данных и алгоритмы решения задач.

Определение.    Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2= -1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Запись комплексного числа в виде 

a + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i. 

в) Вычитание комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) — (a2 + b2i) = (a1 — a2) + (b1 — b2) i.

г) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 — b1b2) + (a1b2 — a2b1) i.

Операции над комплексными числами.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть 

z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример1 . Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z ·  = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3 (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

1. Закрепление материала урока (примеры 1, 2 уч-ся решают у доски, примеры 3, 4 решают самостоятельно, выполняют тестовое задание).

 Задание 1. Решить примеры (уч-ся решают у доски).

 Пример 1. Даны два комплексных числа: 

z1=1 + i

                     z2=-6 + 4i 

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

Пример 2. Даны два комплексных числа:

                    z1=1 +2 i

                    z2=5 — 3i 

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

Задание 2. Решить примеры (уч-ся решают самостоятельно, с последующей проверкой).

         Пример 3. Даны два комплексных числа: 

                     Z1= (1+3i)

                     Z2= (1-3i)

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

           Пример 4. Даны два комплексных числа: 

Z1= (2-i) 

Z2= (3i+4)

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

Задание 3. Выполнить тест (выберите правильный ответ).

Вариант 1

1. На множестве действительных чисел не выполнима операция:

а). деления чисел

б). возведения в степень отрицательного числа

в). извлечения корня из отрицательного числа

г). сравнения чисел

2. Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:

а). систем линейных уравнений

б). квадратных уравнений

в. уравнений высших степеней

г). тригонометрических уравнений

3. Что представляет собой число i:

А). число, квадратный корень из которого равен – 1

б). число, квадрат которого равен – 1

в). число, квадратный корень из которого равен1

г). число, квадрат которого равен1

4. Числа 5; 3-6i; 2,7; 2i принадлежат множеству:

а). действительных чисел

б). мнимых чисел

в). иррациональных чисел

г). комплексных чисел

5. Термин «мнимые числа» ввел:

а). Декарт

б). Эйлер

в).  Кардано

г). Муавр

6. Из предложенных чисел выберите чисто мнимое число:

а). z = 5 — 3i

б). z = 75i

в).  z = 32

г). z = 0

7. Выражение z = a+bi называется:

а). вещественной частью комплексного числа

б).  мнимой частью комплексного числа

в). тригонометрической формой комплексного числа

г). алгебраической формой комплексного числа

8. Числа a+bi и a-bi называются:

а). сопряженными

б). противоположными

в). обратными

г). мнимыми

9. Числа a+bi и -a-bi называются:

а). сопряженными

б). противоположными

в). обратными

г). мнимыми

10. Два комплексных числа нельзя соединить знаком:

а). равенства

б). неравенства

в). деления

г). Разности

Вариант 2

1. На координатной плоскости число изображается:

А.  точкой или радиус-вектором

б). отрезком

в).  плоской геометрической фигурой

г). заштрихованной частью плоскости

2. Аргументом комплексного числа называется:

а). вещественная часть комплексного числа

б). мнимая часть комплексного числа

в. расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г). угол, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox

3. Модулем комплексного числа называется:

а). данное комплексное число без учета знака

б). расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

в). расстояние от осей координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г). сумма вещественной и мнимой части

4. На комплексной плоскости числу i соответствует точка с координатами:

а). (0;0)

б). (1;1)

в). (1;0)

г). 0;1)

5. Модуль комплексного числа z = 4 + 3i равен:

а). 25

б). 1

в). 7

г). 5

6. Вычислить: (3-i) + (-1+2i)

а). 2+i

б). 4+3i

в). 2+3i

г). -3-2i

7. Вычислить: (4-2i) – (-3+2i)

а). 1-4i

б). 7-4i

в). 1

г). 7

8. Вычислить: (4-2i) × i

а). 2i

б). 6i

в). 2+4i

г). 4i-2

9. Вычислить: 1/i

а). 1

б). -1

в). i

г). –i

10. Вычислить: 1 / (1-i)

а). 1/2+1/2i

б). 1/2-1/2i

в). 1+i

г). -1+i

Вариант 3.

1. Какие из предложенных чисел являются комплексными:

1) 17+2i 

2) i-26

3) 11

4) -7

5) i

а). таких чисел нет

б). все

 в). 1, 2,4

2. Дано число 3i — 4. Верно ли что действительная часть = 3, мнимая = -4, а модуль |Z| = 5 ?

а). всё верно, ошибок нет

б). ошибка в действительной и мнимой части

в). все неверно

г). ошибка в модуле z

3. Даны два числа 2+3i и 6i -7. Определите какое число является разностью указанных чисел.

а). 9-3i

б). -4+10i

в). -5+9i

г). 8-4i

4. Определите какой алгоритм позволяет перемножить два комплексных числа?

а). надо сложить аргументы комплексных чисел и перемножить их модули

б). надо перемножить аргументы комплексных чисел и перемножить их модули

в). надо сложить модули комплексных чисел и перемножить их аргументы

5. Определите, какое число является сопряженным

к числу 2i-3.

а). -2i — 3

б). 3 + 2i

в). 3 — 2i

6. 6. Вычислите произведение комплексных чисел

z1 = 2 — i и z2 = 3i 

а). 3 + 6i

б). -3 — 6i

в). 6 — 3i

7. Определите какая форма записи не относится к числу 1+ i

а). √2(cos π/4+ i sin π/4)

б). √2(cos1+ i sin1)

в). -2(cos1+ i sin1)

г). 2(cos π/4+ i sin π/4)

8. Вычислите: (5 + i) ( -2 +3i)

а). 13i — 13

б). -13+ 17i

в). 13i – 7

9. Вычислите (1 + i)2

а). 2 +2i

б). -2i

в. 2i

10. Cколько корней имеет уравнение: 4x2+ 4x + 5 = 0.

а). нет корней

б). один корень

в). два корня

Эталоны ответов:

Вариант 1	1в	2б	3б	4г	5а	6б	7г	8а	9б	10а
Вариант 2	1б	2а	3а	4б	5г	6а	7г	8б	9б	10б
Вариант 3	1б	2б	3б	4в	5а	6г	7а	8а	9а	10в

 

1. Подведение итогов урока (выводы по теме, выставление и оглашение оценок с комментариями).

1. Домашнее задание: решить примеры (выписаны на доске).

• Даны два комплексных числа: Z1= (5-i) 

                                                                    Z2= (3i+4)

 Выполните: сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

• Даны два комплексных числа: Z1= (1+4i)

                                                                 Z2= (1-3i)

Выполните: сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Приложение 1

Тема: «Комплексные числа. Операции над комплексными числами».

Определение.    Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2= -1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Запись комплексного числа в виде 

a + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i. 

в) Вычитание комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) — (a2 + b2i) = (a1 — a2) + (b1 — b2) i.

г) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 — b1b2) + (a1b2 — a2b1) i.

Операции над комплексными числами.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть 

z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример1 . Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z ·  = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3 (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение.  Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Приложение 2

 

Задание 1. Решить примеры (решить примеры у доски).

 Пример 1. Даны два комплексных числа: 

z1=1 + i

                     z2=-6 + 4i 

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

Пример 2. Даны два комплексных числа:

                    z1=1 +2 i

                    z2=5 — 3i 

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

 

Задание 2. Решить примеры (самостоятельно).

        

 Пример 3. Даны два комплексных числа: 

                     Z1= (1+3i)

                     Z2= (1-3i)

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

 Пример 4. Даны два комплексных числа: 

Z1= (2-i) 

Z2= (3i+4)

Найти:

• сумму z = z1+ z2 

• разность z = z1 —  z2 

• произведение z = z1 · z2.

• частное z = z1/ z2

Приложение 3

Задание 3. Выполнить тест (выберите правильный ответ).

Вариант 1

1. На множестве действительных чисел не выполнима операция:

а). деления чисел

б). возведения в степень отрицательного числа

в). извлечения корня из отрицательного числа

г). сравнения чисел

2. Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:

а). систем линейных уравнений

б). квадратных уравнений

в. уравнений высших степеней

г). тригонометрических уравнений

3. Что представляет собой число i:

А). число, квадратный корень из которого равен – 1

б). число, квадрат которого равен – 1

в). число, квадратный корень из которого равен1

г). число, квадрат которого равен1

4. Числа 5; 3-6i; 2,7; 2i принадлежат множеству:

а). действительных чисел

б). мнимых чисел

в). иррациональных чисел

г). комплексных чисел

5. Термин «мнимые числа» ввел:

а). Декарт

б). Эйлер

в).  Кардано

г). Муавр

6. Из предложенных чисел выберите чисто мнимое число:

а). z = 5 — 3i

б). z = 75i

в).  z = 32

г). z = 0

7. Выражение z= a+bi называется:

а). вещественной частью комплексного числа

б).  мнимой частью комплексного числа

в). тригонометрической формой комплексного числа

г). алгебраической формой комплексного числа

8. Числа a+bi и a-bi называются:

а). сопряженными

б). противоположными

в). обратными

г). мнимыми

9. Числа a+bi и -a-bi называются:

а). сопряженными

б). противоположными

в). обратными

г). мнимыми

10. Два комплексных числа нельзя соединить знаком:

а). равенства

б). неравенства

в). деления

г). разности

Вариант 2

1. На координатной плоскости число изображается:

А.  точкой или радиус-вектором

б). отрезком

в).  плоской геометрической фигурой

г). заштрихованной частью плоскости

2. Аргументом комплексного числа называется:

а). вещественная часть комплексного числа

б). мнимая часть комплексного числа

в. расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г). угол, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox

3. Модулем комплексного числа называется:

а). данное комплексное число без учета знака

б). расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

в). расстояние от осей координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г). сумма вещественной и мнимой части

4. На комплексной плоскости числу i соответствует точка с координатами:

а). (0;0)

б). (1;1)

в). (1;0)

г). 0;1)

5. Модуль комплексного числа z= 4 + 3i равен:

а). 25

б). 1

в). 7

г). 5

6. Вычислить: (3-i) + (-1+2i)

а). 2+i

б). 4+3i

в). 2+3i

г). -3-2i

7. Вычислить: (4-2i) – (-3+2i)

а). 1-4i

б). 7-4i

в). 1

г). 7

8. Вычислить: (4-2i) × i

а). 2i

б). 6i

в). 2+4i

г). 4i-2

9. Вычислить: 1/i

а). 1

б). -1

в). i

г). –i

10. Вычислить: 1 / (1-i)

а). 1/2+1/2i

б). 1/2-1/2i

в). 1+i

г). -1+i

Вариант 3.

1. Какие из предложенных чисел являются комплексными:

1) 17+2i 

2) i-26

3) 11

4) -7

5) i

а). таких чисел нет

б). все

 в). 1, 2,4

2. Дано число 3i — 4. Верно ли что действительная часть = 3,   мнимая = -4, а модуль  |Z| =5 ?

а). всё верно, ошибок нет

б). ошибка в действительной и мнимой части

в). все неверно

г). ошибка в модуле z

3.Даны два числа 2+3i и 6i -7. Определите какое число является разностью указанных чисел.

а). 9-3i

б). -4+10i

в). -5+9i

г). 8-4i

4.Определите какой алгоритм позволяет перемножить два комплексных числа?

а). надо сложить аргументы комплексных чисел и перемножить их модули

б). надо перемножить аргументы комплексных чисел и перемножить их модули

в). надо сложить модули комплексных чисел и перемножить их аргументы

5. Определите, какое число является сопряженным

к числу 2i-3.

а). -2i — 3

б). 3 + 2i

в). 3 — 2i

6. Вычислите произведение комплексных чисел

z1 = 2 — i и z2 = 3i 

а). 3 + 6i

б). -3 — 6i

в). 6 — 3i

7. Определите какая форма записи не относится к числу 1+ i

а). √2(cos π/4+ i sin π/4)

б). √2(cos1+ i sin1)

в). -2(cos1+ i sin1)

г). 2(cos π/4+ i sin π/4)

8.Вычислите: (5 + i) ( -2 +3i)

а). 13i — 13

б). -13+ 17i

в). 13i – 7

9. Вычислите (1 + i)2

а). 2 +2i

б). -2i

в. 2i

10. Cколько корней имеет уравнение: 4x2+ 4x + 5 = 0.

а). нет корней

б). один корень

в). два корня

Эталоны ответов:

Вариант 1	1в	2б	3б	4г	5а	6б	7г	8а	9б	10а
Вариант 2	1б	2а	3а	4б	5г	6а	7г	8б	9б	10б
Вариант 3	1б	2б	3б	4в	5а	6г	7а	8а	9а	10в